La gravitation avant Einstein | trajecto-planete-tpe

Durant l'Antiquité, Aristote (-384,-322) propose un modèle géocentrique de l'univers, c'est-à-dire où la Terre est le centre de l'univers. Les planètes et le Soleil tourneraient ainsi autour de la Terre. Cependant, la rétrogadation (recul apparent d'un corps céleste) de Mars infirme cette hypothèse.

Modèle cosmologique d'Aristote dans lequel les planètes suivent des trajectoires concentriques et parfaitement circulaires autour de la Terre.

Mouvement apparent du Soleil (en jaune) et de Mars (en rouge) depuis la Terre.

Pour résoudre ce problème, Ptolémée introduit l'épicycle et le déférent. En conservant le modèle géocentrique, il postule que les planètes suivent une trajectoire circulaire sur l'épicycle. Le centre de chacune de ces orbites devait être en rotation autour de la Terre le long d'une orbite circulaire appelée le déférent. Ce modèle permettait d'expliquer les rétrogadations mais était cependant très complexe.

Épicycle et déférent.(Dhenry, CC BY 1.0)

Ce n'est que durant la Renaissance que Copernic (1473-1543) proposera le modèle héliocentrique (centré sur le Soleil). En effet, avec la complexité croissante des calculs des épicycles et un décalage dans le calendrier julien, il devenait nécessaire pour Copernic de réformer la vision géocentrique. Le modèle copernicien conserve cependant les orbites circulaires d'Aristote et de Ptolémée.

Tycho Brahe (1546-1601) continue à contredire le modèle aristotélicien par sa mesure très précise des mouvements des corps célestes. Après sa mort, Johannes Kepler (1571-1630) utilise ses observations pour dicter trois lois : les lois de Kepler.

Loi des orbites : les orbites des planètes autour du Soleil sont des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers. Cette ellipse est décrite dans la section Mathématique>Ellipses. Le second foyer de l'ellipse n'est par ailleurs pas occupé. Le point de l'orbite situé le plus près du Soleil est appelé le périhélie. Le point le plus éloigné du Soleil est l'aphélie.
Loi des Aires : le segment qui joint une planète et le Soleil balaie des surfaces égales en des intervalles de temps égaux. Ce principe est inspiré du fait que la vitesse orbitale n'est pas constante mais est maximale au périhélie et minimale à l'aphélie. En dessinant la surface balayée par le segment Soleil-planète à n'importe quel endroit mais toujours sur le même intervale de temps, Kepler se rendit compte que les surfaces avaient toutes les mêmes aires. Ainsi, lorsqu'on se rapproche du périhélie, la surface balayée est plus étendue sur la trajectoire car le segment est plus court. De ce fait, la vitesse augmente lorsqu'on approche du périhélie et décroît lorsqu'on s'en éloigne.
Loi des périodes : le carré de la période de révolution d'une planète autour du Soleil est proportionnel au cube de la longueur du demi-grand axe de son orbite. Avec la période de révolution exprimée en années terrestres et la longueur du demi-grand axe en unités astronomiques (notée "ua" et de la distance entre la Terre et le Soleil) on obtient :

Cette équation indique qu'une planète plus proche du Soleil a une période de révolution, et donc une année, plus courte. Avec la loi des aires, elle permet de déterminer qu'une planète plus proche du Soleil se déplace plus rapidement. Cette dernière loi est approximativement en accord avec les observations comme montré ci-contre :

On remarque que le carré de P est environ égal au cube de a.

Ici, l'aire A est égale à l'aire B et la distance A est parcourue dans le même intervalle de temps que la distance B.(Chatsam, CC BY-SA 3.0)

Isaac Newton (1643-1727), par le calcul, détermine que la gravitation est universelle et ne s'applique pas seulement aux corps célestes. Il découvre aussi que la force de gravitation est inversement proportionnelle au carré du rayon : 1/r². Il introduit ensuite dans les Principia les lois de la dynamique newtonienne :

1 - Première loi (principe d'inertie) : l'inertie est la propriété d'un corps qui fait qu'il reste immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (sur une droite à vitesse constante) si la résultante des forces extérieures qui agissent sur lui est nulle. Ainsi, si l'on tient une pierre dans sa main, la force d'attraction de la Terre et la force exercée par sa main s'annulent. La pierre est donc immobile. Lorsqu'on frappe un ballon, la résultante devient non nulle et le ballon s'envole. Cette loi indique qu'une force agit sur les planètes, car sinon ces dernières s'éloigneraient du Soleil en mouvement rectiligne uniforme.

2 - Deuxième loi (principe fondamental de la dynamique) : l'accélération d'un objet est proportionnelle à la résultante des forces extérieures qui agissent sur lui et est inversement proportionnelle à sa masse. On l'écrit sous la forme :

où a est l'accélération, c'est-à-dire le taux de variation du vecteur vitesse au cours du temps qui est généralement exprimé en m/s². Dans la vie courante cette équation correspond à :

Poids (en N) = masse (en kg) x g (l'accélération de la pesanteur environ égale à 9.81 m/s² sur Terre)

3 - Troisième loi (principe d'action-réaction) : quand un objet exerce une force sur un autre objet, celui-ci exerce en retour sur le premier une force de même norme (valeur) mais dans le sens opposé. Ainsi si je pèse 500 N (newtons : unité de mesure de la force), le sol me pousse de 500 N vers le haut. On retrouve ici la première loi : la résultante des forces agissant sur moi est nulle car 500-500=0 donc je suis immobile.

Newton démontra ensuite que la force qui attire les planètes vers le Soleil est la même que celle qui fait chuter une pomme sur le sol. Il déclara alors que la force de gravitation exercée par un objet sur un autre l'attire vers le premier. Il parvint à donner une modélisation mathématique à cette force :

Loi de la gravitation universelle : deux objets s'attirent avec une force qui est proportionnelle au produit de leur masse et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare :

G est la constante de gravitation, r est le rayon, ou plus généralement la distance, entre le centre des deux objets. Les deux m sont les masses des deux objets.

Si le Soleil attire les planètes vers lui, alors pourquoi celles-ci ne tombent-elles pas sur l'étoile? Pour répondre à cette question, Newton imagine un boulet tiré d'un canon en altitude. Si ce dernier tire le boulet à une vitesse faible, l'objet va vite retomber sur le sol. Si le canon le tire plus fort, le boulet tombera plus loin. A partir d'une certaine vitesse, le boulet va conserver une trajectoire presque droite plus longtemps alors que la Terre est courbe. Ainsi, le sol se dérobera à chaque instant sous le boulet qui va ainsi rentrer en orbite autour de la Terre.

De plus, Newton découvrit que les corps célestes peuvent suivre des trajectoires qui ne sont pas elliptiques. Il démontra la possibilité de trajectoires en forme de parabole ou d'hyperbole. Si un corps suit l'une de ces trajectoires, il passera par exemple une seule fois près du Soleil avant de repartir vers l'espace.

La théorie newtonienne eu un succès important du fait de la précision inédite de ces prédictions. Alors que la loi de gravitation universelle décrit un système à deux corps (par exemple Soleil et Terre), le système solaire est composé de nombreuses planètes s'influençant entre elles. Malgré la grande quantité de calculs induite par cette technique, les astronomes durent calculer les trajectoires sans outils mathématiques particuliers du fait de la diversité infinie de systèmes possibles. C'est cette méthode qui a conduit à la découverte de Neptune. En effet, les observations d'Uranus ont permis de prédire une orbite et des positions dans le ciel. Lorsque Uranus a dévié de sa trajectoire théorique, les équations de Newton ont permis à Le Verrier de déterminer la position théorique d'une planète située plus loin : Neptune. L'observation de celle-ci fut l'un des plus grands succès de la théorie de Newton.

Lorsqu'on tire le boulet très vite, il se satellise.(Brian Brondel, CC BY-SA 3.0

Ici, Uranus est plus proche du Soleil et sa période est donc plus courte que celle de Neptune. Lorsque Uranus est en b, Neptune tire la première vers elle et Uranus accélère donc vers l'avant. En a, Neptune tire Uranus vers l'arrière : cette dernière ralentit. Ce sont ces accélérations et décélérations qui ont amenées à la découverte de Neptune. (RJHall, CC BY-SA 3.0)

Après plusieurs grands succès, la théorie de Newton se heurta à un problème majeur : la précession du périhélie de Mercure, c'est-à-dire le changement d'orientation de son périhélie. Par des observations, Le Verrier constata un décalage des positions de Mercure. Il postula donc la présence d'une planète intra-mercurienne qu'il appela Vulcain. Cette planète ne fut jamais observée et ce n'est qu'en 1916 qu'Einstein expliquera ces anomalies.

Mouvement de Mercure avec une précession du périhélie exagérée. (KSmrq, CC BY-SA 3.0)